亥姆霍兹方程(亥姆霍兹方程推导过程)

亥姆霍兹方程

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亥姆霍兹方程-正文 　　在

数学上具有(墷2+k2)ψ =f形式的双曲型偏微分方程。式中墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。当f等于零时称为齐次亥姆霍兹方程;f不等于零时称为非齐次亥姆霍兹方程。在电磁学中，当函数随时间作简谐变动时,波动方程化为亥姆霍兹方程。例如,在均匀各向同性媒质中,电场和磁场强度满足下述波动方程

(1)

。 (2)

　　当一个函数F(x,y,z,t)随时间作简谐变动时,可以表成F(x,y,z)ejwt的形式,这时д/дt相当于jω，д2/дt2相当于－ω2,代入式(1)、(2),并利用电荷与电流之间的连续方程墷·J＝-дρ/дt，可得

(3)

， (4)

式中k＝ω(με)┩，称为波数。

　　在场强的非齐次亥姆霍兹方程中，右边的源函数比较复杂。若换用电磁势，源函数可得到简化。洛伦兹规范下，简谐变化的A和嗞满足下述非齐次亥姆霍兹方程

(5)

(6)

　　在没有源的区域，式(5)、(6)变为齐次亥姆霍兹方程

(7)

(8)

　　若此区域是有界的，例如在波导中，则因边界条件的限制，方程的解可以用离散的本征模式的线性组合来表示。每一模式的系数取决于源函数和待定函数的边值(见电磁场的边值问题)。